数学超絶難問 : 時代を超えて天才の頭脳に挑戦!　の読書会ページ

P.113の問題番号「47」 に対する解答

p.114の別解答）
Aが2回の対戦で勝つ確率は、
Aが2連勝する確率であるので、
　(2/3)*(2/3) = 4/9。
次に、Aが4回の対戦で勝つ確率は、
最初の2回が1勝1敗でその後の2回をAが2連勝する確率であるので、
　{(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)}*(2/3)*(2/3) = (4/9)*(4/9)
このようにして、Aが6回の対戦で勝つ確率、8回で勝つ確率を計算すると、それぞれ、
　{(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)}^2*(2/3)*(2/3) = (4/9)^2*(4/9)
　{(2/3)*(1/3)+(1/3)*(2/3)}^3*(2/3)*(2/3) = (4/9)^3*(4/9)
と計算できるので、Aが対戦に勝つ確率はこれらの合計で
　P = 4/9 + (4/9)*(4/9) + (4/9)^2*(4/9) + (4/9)^3*(4/9) +…
となる。ここで、x < 1のとき、
　1 + x + x^2 + x^3 +… = 1/(1-x)
が成り立つことを考慮すると、
　P = (4/9) * (1 + 4/9 + (4/9)^2 + (4/9)^3 +… )
= (4/9) * 1/(1-4/9)
= 4/5
が得られる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2016-07-18 07:13:03

P.127の問題番号「54」 に対する解答

この問題の別解答）
黒いマスが0個の場合、塗り方は1通り。
黒いマスが1個の場合、塗り方は9通り。
黒いマスが2個の場合、黒いマスが2つ以上隣り合ってはいけないので、
黒いマスの間には白いマスが少なくとも1つ入っていなくてはならない。
これは見方を変えると、
　「白いマスをはじめに8個並べて、そのうち2個を黒く塗り、
　　最後に黒いマスの間に1つの白いマスを入れる」
ということと同じになる。したがって、黒いマスが2個の場合の塗り方は
8個から2個を選ぶ方法の数となり、28通りとなる。
同様にして、
黒いマスが3個の場合、塗り方は7個から3個を選ぶ方法の数で35通り、
黒いマスが4個の場合、塗り方は6個から4個を選ぶ方法の数で15通り
となる。
黒いマスが5個の場合、塗り方は1通りしかなく、
黒いマスが6個以上の場合、黒いマスが必ず隣り合うので塗れない。
以上より、塗り方は89通りとなる。

投稿者：goodbook 投稿日時：2016-07-29 05:19:22