数学〈超・超絶〉難問　の読書会ページ

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p.18とは別の方針による解法。

3つの箱をA,B,Cと区別し、その中に入る玉の数をそれぞれa,b,cとしたとき、
　a ≦ b ≦ c
に制限して考える。

その上で、a = k とすると、b,cへの分配の仕方は、
　[ ( n - k ) / 2 ] + 1 - k　…　(1)
となる。
ここで、[] はガウス記号で、[]の中の数を超えない最大の整数を表す。

(1)の式は、まず、(n - k)個の玉をb,cの2つに分割する方法として
　(b,c) → (0,n-k), (1, n-k-1), (2, n-k-2),…,(n-k,0)
のケースが考えられるが、
b ≦ cを考慮すると、その約半分である
[ ( n - k ) / 2 ] + 1　個のケースがb ≦ cを満たすことが分かる。
さらに、a = k ≦ b　も考慮すると、
　(b,c) → (0,n-k), (1, n-k-1), …, (k-1, n-k-(k-1))
のk個のケースはk ≦ b を満たさないので、この分は取り除き、
結局、(1)式の分配数が得られる。

最後に、a = k は0から[n/3]個までの値をとることができるので、
(1)をkについて、0から[n/3]個まで足し上げることで、
この問題の解が得られる。

解答者：goodbook 解答日時：2017-09-02 05:51:02

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