数学ビギナーズマニュアル : これだけは知っておきたい　の読書会ページ

P.73 の疑問

p.71に「公理」とはそれ以上根拠を追及しない・証明を求めない「前提」として与えられるとあり、
p.72に「定義」は「公理」から出発してさまざまな新しい数学的対象が何を意味しているのか、厳密に規定した主張、とあります。
一方で、『さて、定義によって新しく導入された数学的対象が満たすべきものとして列挙された性質も、しばしば「公理」と呼ばれます。』とあります。
ということは、「公理１」→「定義」→「公理２」というふうに「公理１」と「公理２」が関係づけられるということですね。ここで疑問に思うことは、
　・「公理２」→「定義」→「公理１」と見直すことができるものなのか。
　・見直せる場合、「公理１」と「公理２」の両方を公理として残す必要があるのか、
　　それとも、どちらか１つを公理として残しておけばよいのか。
です。理想としては、最低限の公理から全ての数学的対象が導かれるというのがよいと思いますが。

投稿者：goodbook 投稿日時：2015-07-25 06:19:50

P.80 の疑問

ツォルンの補題、ツェルメロの選択公理、整列可能定理の話で、これら3つの命題は同値であり、どれを「公理」としてもよい、どれか一つを「公理」とすれば、他の二つはそれから導かれる「定理」となる、との記載があります。
ところで、p.71に「公理」はそれ以上根拠を追及しない・証明をもとめないものと記載されています。
このような「公理」の与え方を考えると、『この命題を「公理」とします』というようなことを簡単に行ってよいのでしょうか。
少なくとも、ここでの議論はこれら３つの命題が同値であることのみを言っており、これら３つのうちの１つでも、それが正しいということを証明したことにはならないと思います。

投稿者：goodbook 投稿日時：2015-07-27 05:44:02