ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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非一様な振動子の振動周期
\[ T= \int_{-\pi}^{\pi} \frac{d \theta}{\omega - a \sin \theta}, \ \omega > a > 0 \](a) 恒等式$\sec^2(\theta/2) = 1 + \tan^2(\theta/2)$を利用すると、
\[ du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{\theta}{2})d \theta = \frac{1}{2} \left( 1 + \tan^2(\frac{\theta}{2}) \right) d \theta = \frac{1+u^2}{2} d \theta \]となるので、\[ d \theta = \frac{2}{1+u^2} d u \]が得られる。
(b) ヒントより
\[ \sin(\frac{\theta}{2}) = \frac{u}{\sqrt{1+u^2}}, \ \cos(\frac{\theta}{2}) = \frac{1}{\sqrt{1+u^2}} \]となるので、半角公式を利用すると、
\[ \sin \theta = \frac{2u}{1+u^2} \]が得られる。
(c) $u = \tan(\theta/2)$であるので、$\theta$が$0$に近い方から$\theta \to \pm \pi$になるかぎり、$u \to \pm \infty$となるのは明らか。従って積分の範囲は$(-\pi,\pi)$から$(-\infty,\infty)$となる。
(d) \[ T = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\omega - a \cdot \frac{2u}{1+u^2} } \frac{2}{1+u^2} du = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{2}{\omega (1+u^2) -2au} du \](e) 上式の被積分関数の分母は
\[ \omega (1+u^2) -2au = \omega \left( u - \frac{a}{\omega} \right)^2 + \frac{\omega^2 - a^2}{\omega} \]のように平方完成される。ここで、
\[ x = \frac{\omega}{2} \left( u - \frac{a}{\omega} \right), \ r = \frac{\omega^2 - a^2}{4} \]とおくと、
\[ T = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{r+x^2} \]となり、演習問題4.3.1の積分に帰着する。

解答者：goodbook 解答日時：2020-06-18 06:01:04

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