ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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\[ \dot{\theta} = \mu \sin \theta - \sin 2 \theta = \sin \theta ( \mu - 2 \cos \theta ) \] $\sin \theta = 0$から固定点として$\theta^*=0, \pi, (-\pi)$が現われる。
次に、$ \mu - 2 \cos \theta = 0$から得られる固定点について考える。
i) $\mu < -2$のとき、任意の$\theta$について$ \mu - 2 \cos \theta < 0$となり、新たな固定点は出てこない。従って、$\theta^* = 0$に安定固定点、$\theta^* = \pi, (-\pi)$に不安定固定点をもつ。
ii) $-2 < \mu < 2$のとき、$\mu - 2 \cos \theta = 0$は固定点$\theta^* = \pm \cos^{-1}(\mu/2)$をもつ。従って、$\theta^* = 0, \pi, (-\pi)$に安定固定点、$\theta^* = \pm \cos^{-1}(\mu/2)$に不安定固定点をもつ。
iii) $\mu > 2$のとき、任意の$\theta$に対して$ \mu - 2 \cos \theta > 0$となり、新たな固定点は出てこない。従って、$\theta^* = \pi, (-\pi)$に安定固定点、$\theta^* = 0$に不安定固定点をもつ。
最後に、分岐についてまとめると、$\mu = -2$のとき、$\theta^* = \pi, (-\pi)$で超臨界ピッチフォーク分岐が起こり、$\mu = 2$のとき、$\theta^* = 0$で亜臨界ピッチフォーク分岐が起こる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-06-19 04:47:49

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