ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$x=r^a u$, $t = r^b \tau $とおくと、$\dot{x} = r + x^{2n}$は\[ r^{a-b} \frac{du}{d \tau} = r + r^{2na} u^{2n} \]となる。この方程式のすべての項が$r$について同じオーダーだとすると、$a,b$は$a-b=1, \ 2na = 1$を満たすので、
\[ a = \frac{1}{2}, \ b = \frac{1}{2n}-1 \]が得られる。従ってスケーリング則は
\[ T_{\rm{bottleneck}} \approx \int dt = r^{\frac{1}{2n}-1} \int d \tau = r^{\frac{1}{2n}-1} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d \tau}{d u} d u = r^{\frac{1}{2n}-1} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d u}{1+u^{2n}} \]となる。

次に、\[ c= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d u}{1+u^{2n}}\]を計算する。まず、$ \omega_m = \exp [i(\frac{m}{n} + \frac{1}{2n})\pi]$とおくと、
\[1+u^{2n} = (u - \omega_0)(u - \omega_1)(u - \omega_2)\cdots(u - \omega_{2n-1}) \]となる。積分経路を複素平面上で$(-R,R)$と$Re^{i \theta} \ (0 \leq \theta \leq \pi)$とすると、留数は$\omega_0, \omega_1, \cdots , \omega_{n-1}$となるので、留数定理より
\[ c = \sum_{m=0}^{n-1} \frac{2 \pi i}{(\omega_m - \omega_0)(\omega_m - \omega_1)\cdots(\omega_m - \omega_{m-1})(\omega_m - \omega_{m+1})\cdots(\omega_m - \omega_{2n-1})} \]となる。ここで$\omega_m = e^{i\frac{m}{n}\pi} \omega_0$となることを考慮すると、
\[ c = \sum_{m=0}^{n-1} e^{-i\frac{m}{n}(2n-1)\pi} \frac{2 \pi i}{(\omega_0 - \omega_1)(\omega_0 - \omega_2)\cdots(\omega_0 - \omega_{2n-1})} \\
= \frac{1-e^{i \pi}}{1-e^{i \frac{\pi}{n}}} \frac{2\pi i}{\omega_0^{2n-1}} \frac{1}{ (1 - e^{i\frac{1}{n} \pi})(1 - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(1 - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi})} \\ = \frac{2 \pi}{\sin \frac{\pi}{2n}} \frac{1}{ (1 - e^{i\frac{1}{n} \pi})(1 - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(1 - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi})} \]となる。
次に、$u^{2n}-1$は
\[u^{2n}-1 = (u-1)(u+1)(u^{2(n-1)} + u^{2(n-2)} + \cdots + 1 ) \\
= (u-1)(u - e^{i\frac{1}{n} \pi})(u - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(u - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi}) \]となるので、
\[ (u - e^{i\frac{1}{n} \pi})(u - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(u - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi}) = (u+1)(u^{2(n-1)} + u^{2(n-2)} + \cdots + 1 ) \]この式に$u=1$を代入すると、
\[ (1 - e^{i\frac{1}{n} \pi})(1 - e^{i\frac{2}{n} \pi})\cdots(1 - e^{i\frac{2n-1}{n} \pi}) = 2n \]が得られる。従って、
\[ c = \frac{\pi}{n \sin \frac{\pi}{2n}} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-06-26 05:47:50

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