ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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(a) キルヒホッフの電流則より
\[ I_b = I_a + I_R \tag{1} \]となる。

(b) キルヒホッフの電圧則により、ジョセフソン接合素子に並列につながっている抵抗$r$にも同じ電圧$V_k \ (k=1,2)$がかかる。従って、キルヒホッフの電流則により、
\[ I_a = I_c \sin \phi_k + \frac{V_k}{r} \ \ \ (k=1,2) \tag{2} \]となる。

(c) ジョセフソンの電圧-位相関係式より
\[ V_k = \frac{\hbar}{2 e} \dot{\phi_k} \tag{3} \]となる。

(d) キルヒホッフの電圧則により抵抗$R$にかかる電圧$V_R$は
\[ V_R = V_1 + V_2 = \frac{\hbar}{2 e} (\dot{\phi_1} + \dot{\phi_2}) \tag{4} \]となる。従って、(1)～(4)式と$I_R = V_R/R$であることを利用すると、
\[ I_b = I_c \sin \phi_k + \frac{\hbar}{2er} \dot{\phi_k} + \frac{\hbar}{2eR} (\dot{\phi_1} + \dot{\phi_2}) \tag{5} \]が得られる。

(e) (5)式の$k=1,2$を足して整理すると、
\[ \dot{\phi_1} + \dot{\phi_2} = \frac{2eR_0 r}{\hbar (R_0+r)}(2I_b - I_c \sum_{j=1}^2 \sin \phi_j ) \tag{6} \]が得られる。ここで、$R_0=R/2$とおいた。(5)式に(6)式を代入して整理すると、
\[ \dot{\phi_k} = \frac{2eR_0 r}{\hbar (R_0+r)} I_b - \frac{2er}{\hbar} I_c \sin \phi_k + \frac{e r^2}{\hbar (R_0+r)} I_c \sum_{j=1}^2 \sin \phi_j \]となる。従って、
\[ \Omega = \frac{2eR_0 r}{\hbar (R_0+r)} I_b, \ a = - \frac{2er}{\hbar} I_c, \ K=\frac{e r^2}{\hbar (R_0+r)} I_c \]とおくと、
\[\dot{\phi_k} = \Omega + a \sin \phi_k + K \sum_{j=1}^2 \sin \phi_j \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-05 06:07:44

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