ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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調和振動子$\dot{x}=v, \ \ \dot{v} = -\omega^2 x$

(a) 上の2式を両辺割ると、
\[ \frac{\dot{x}}{\dot{v}} = \frac{v}{-\omega^2 x} \ \ \ \ \mathrm{i.e.} \ \ \ \ \omega^2 x \dot{x} + v \dot{v} = 0 \]となる。この式はさらに
\[ \frac{1}{2} \frac{d}{dt} ( \omega^2 x^2 + v^2 ) = 0 \]となるので、$C$を積分定数として、
\[ \omega^2 x^2 + v^2 = C \tag{1} \]が得られる。

(b) ばねによるエネルギー、運動エネルギーはそれぞれ
\[ \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2, \ \ \ \ \frac{1}{2} m v^2 \]となるので、エネルギー保存則より
\[ E = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{1}{2} m v^2 \]が一定値となる。(1)式と比較すると、
\[E = \frac{1}{2} m C \]
となり、これは(a)で求めた楕円の式がエネルギー保存則と等価であることを示している。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-06 05:10:02

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