ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\dot{x}= 4x-y, \ \ \dot{y} = 2x+y$
(a) この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \]となる。また、特性多項式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 4-\lambda & -1 \\ 2 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 -5 \lambda +6 = 0 \]となる。従って、行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = 2, \ \ \lambda_2 = 3 \]
となる。固有値$\lambda_1 =2$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ 2 v_1-v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]
となる。一方、固有値$\lambda_1 =3$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1-v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
となる。

(b) 一般解は
\[ \boldsymbol{x}(t) = c_1 e^{2t} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + c_2 e^{3t} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

(c) $\tau = \mathrm{tr}A=5, \ \ \Delta = \mathrm{det}A = 6, \ \ \tau^2 -4\Delta =1 >0$となるので、原点は不安定ノードとなる。

(d) 初期条件$(x_0, y_0)=(3,4)$とすると、
\[ \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_1 + c_2 \\ 2 c_1+c_2 \end{pmatrix} \]より、$c_1=1, \ \ c_2=2$が得られる。従って、
\[ x(t) = e^{2t} + 2 e^{3t}, \ \ y(t) = 2e^{2t} + 2 e^{3t} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-14 04:28:34

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