ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}= x-y, \ \ \dot{y} = x+y$
(a) この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \]となる。また、特性多項式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 1-\lambda & -1 \\ 1 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 -2 \lambda +2 = 0 \]となる。従って、行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = 1+i, \ \ \lambda_2 = 1-i \]となる。固有値$\lambda_1 =1+i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} -i & -1 \\ 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1- i v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。一方、固有値$\lambda_2 =1-i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} i & -1 \\ 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1 + i v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

(b) 一般解は
\[ \begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}(t) &=& c_1 e^{(1+i)t} \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{(1-i)t} \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \\
&=& c_1 e^t ( \cos t + i \sin t ) \begin{pmatrix} i \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^t ( \cos t - i \sin t ) \begin{pmatrix} -i \\ 1 \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} i(c_1-c_2) e^t \cos t - (c_1 + c_2) e^t \sin t \\ (c_1 + c_2) e^t \cos t + i (c_1 - c_2) e^t \sin t \end{pmatrix} \\
&=& \begin{pmatrix} C_1 e^t \cos t - C_2 e^t \sin t \\ C_2 e^t \cos t + C_1 e^t \sin t \end{pmatrix}
\end{eqnarray} \]となる。ここで、$C_1 = i(c_1 - c_2), \ \ C_2=c_1+c_2$とおいた。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-15 05:16:10

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