ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}= y, \ \ \dot{y} = -2x-3y$
この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性多項式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ -2 & -3 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 +3 \lambda +2 = 0 \]となる。従って、行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = -1, \ \ \lambda_2 = -2 \]となる。固有値$\lambda_1 =-1$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1+ v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]となる。一方、固有値$\lambda_2 =-2$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ 2 v_1 + v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]となる。最後に一般解は
\[ \boldsymbol{x}(t) = c_1 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + c_2 e^{-2t} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-16 04:37:13

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