ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}= 5x+10y, \ \ \dot{y} = -x-y$
この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 5-\lambda & 10 \\ -1 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 - 4 \lambda + 5 = 0 \]となる。行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = 2+i, \ \ \lambda_2 = 2 - i \]となる。固有値$\lambda_1 =2+i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 3-i & 10 \\ -1 & -3-i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1+ (3+i) v_2 = 0 \]より
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} -3-i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。一方、固有値$\lambda_2 = 2-i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 3+i & 10 \\ -1 & -3+i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1 + (3-i)v_2 = 0 \]より、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} -3+i \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。従って、一般解は
\[ \begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}(t) &=& c_1 e^{(2+i)t} \begin{pmatrix} -3-i \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{(2-i)t} \begin{pmatrix} -3+i \\ 1 \end{pmatrix} \\
&=& e^{2t} ( C_1 \cos t - C_2 \sin t ) \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} + e^{2t} ( C_1 \sin t + C_2 \cos t ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
&=& C e^{2t} \cos (t+\alpha) \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} + C e^{2t} \sin (t+\alpha) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\end{eqnarray} \]となる。ここで、$C_1 = c_1+c_2, \ \ C_2=-i(c_1 - c_2), \ \ C= \sqrt{C_1^2 + C_2^2}, \ \ \cos \alpha = C_1/C, \ \ \sin \alpha =C_2/ C$とおいた。
最後に、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は
$\tau = 4, \ \ \Delta = 5, \ \ \tau^2 -4 \Delta = -4$となるので、固定点は不安定スパイラルである。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-19 17:14:09

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