ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス の読書会ページ
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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス 著者:スティーヴン・H.ストロガッツ/田中久陽 出版社:丸善出版 (2015年01月30日頃) ISBN-10:4621085808 ISBN-13:9784621085806
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系$\dot{x}= 3x-4y, \ \ \dot{y} = x-y$
この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 3-\lambda & -4 \\ 1 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 -2 \lambda +1 = 0 \]となる。行列$A$の固有値は
\[ \lambda = 1 \]となる。固有値$\lambda =1$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1 - 2 v_2 = 0 \]より、
\[ \boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。
行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は
$\tau = 2, \ \ \Delta = 1, \ \ \tau^2 -4 \Delta = 0$となるので、固定点は不安定な縮退したノードである。
解答者:goodbook 解答日時:2020-07-20 04:54:23
問題解答へのコメント
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この系の解を求めるために、行列$A$をJordan形に変形する。 投稿者:goodbook 投稿日時:2020-07-20 04:59:22 |