ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\dot{x}= -3 x + 2y, \ \ \dot{y} = x-2y$
この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} -3-\lambda & 2 \\ 1 & -2 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 +5 \lambda +4 = 0 \]となり、行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = -1, \ \ \lambda_2 = -4 \]となる。固有値$\lambda_1 =-1$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1- v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。一方、固有値$\lambda_2 =-4$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ v_1 + 2 v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。従って、一般解は
\[ \boldsymbol{x}(t) = c_1 e^{-t} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{-4t} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。最後に、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は
$\tau = -5, \ \ \Delta = 4, \ \ \tau^2 -4 \Delta = 4$となるので、固定点は安定ノードである。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-21 04:40:44

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