ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}= 5x+2y, \ \ \dot{y} = -17x-5y$
この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -17 & -5 \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 5-\lambda & 2 \\ -17 & -5 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 + 9 = 0 \]となる。行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = 3i, \ \ \lambda_2 = - 3i \]となる。固有値$\lambda_1 =3i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 5-3i & 2 \\ -17 & -5-3i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ (5-3i)v_1+ 2 v_2 = 0 \]より
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -5+3i \end{pmatrix} \]となる。一方、固有値$\lambda_2 = -3i$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 5+3i & 2 \\ -17 & -5+3i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ (5+3i) v_1 + 2v_2 = 0 \]より、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -5-3i \end{pmatrix} \]となる。従って、一般解は
\[ \begin{eqnarray}
\boldsymbol{x}(t) &=& c_1 e^{3it} \begin{pmatrix} 2 \\ -5+3i \end{pmatrix} + c_2 e^{-3it} \begin{pmatrix} 2 \\ -5-3i \end{pmatrix} \\
&=& ( C_1 \cos 3t + C_2 \sin 3t ) \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} + ( C_1 \sin 3t - C_2 \cos 3t ) \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix} \\
&=& C \cos (3t-\alpha) \begin{pmatrix} 2 \\ -5 \end{pmatrix} + C \sin (3t-\alpha) \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray} \]となる。ここで、$C_1 = c_1+c_2, \ \ C_2=i(c_1 - c_2), \ \ C= \sqrt{C_1^2 + C_2^2}, \ \ \cos \alpha = C_1/C, \ \ \sin \alpha =C_2/ C$とおいた。
最後に、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は
$\tau = 0, \ \ \Delta = 9, \ \ \tau^2 -4 \Delta = -36$となるので、固定点はセンターである。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-21 05:20:52

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