ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x}= 4x-3y, \ \ \dot{y} = 8x-6y$
この系を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 8 & -6 \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} 4-\lambda & -3 \\ 8 & -6 - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 + 2 \lambda = 0 \]となり、行列$A$の固有値は
\[ \lambda_1 = 0, \ \ \lambda_2 = -2 \]となる。固有値$\lambda_1 =0$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ 8 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ 4 v_1- 3 v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \]となる。一方、固有値$\lambda_2 =-2$の固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 8 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ 2 v_1 - v_2 = 0 \]であるので、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]となる。従って、一般解は
\[ \boldsymbol{x}(t) = c_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + c_2 e^{-2t} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]となる。最後に、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は
$\tau = -2, \ \ \Delta = 0, \ \ \tau^2 -4 \Delta = 4$となるので、固定点は孤立しておらず、直線$4x-3y=0$上のすべての点が安定固定点となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-22 04:44:51

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