ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

この系の解を求めるために、行列$A$をJordan形に変形する。
\[ (A-\lambda I)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \]となるので、$(A-\lambda I)^2 \boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{0}$を満たす$\boldsymbol{v}_1$として
\[ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]ととると、
\[ (A-\lambda I) \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]となるので、
\[ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]ととる。そして、行列$P$をベクトル$\boldsymbol{v}_1, \ \ \boldsymbol{v}_2$を並べて、
\[ P = ( \boldsymbol{v}_1 \ \ \boldsymbol{v}_2 ) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]とおく。このとき、
\[ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \]となる。$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の両辺に左から$P^{-1}$をかけて、$\tilde{\boldsymbol{x}} = P^{-1} \boldsymbol{x}$とすると、
\[ \dot{\tilde{\boldsymbol{x}}} = P^{-1} \dot{\boldsymbol{x}} = P^{-1} A \boldsymbol{x} = P^{-1} A P P^{-1} \boldsymbol{x} = P^{-1} A P \tilde{\boldsymbol{x}} \]と変形することができる。このとき、
\[ P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]となり、行列$A$をJordan形に変形できた。$\tilde{\boldsymbol{x}}$の方程式は
\[ \dot{\tilde{\boldsymbol{x}}} = -\tilde{\boldsymbol{x}}, \ \ \dot{\tilde{\boldsymbol{y}}} = \tilde{\boldsymbol{x}}-\tilde{\boldsymbol{y}} \]となり、
\[ \tilde{x}(t) = \tilde{x}_0 e^{-t}, \ \ \tilde{y}(t) = ( \tilde{x}_0 t + \tilde{y}_0 ) e^{-t} \]となる。$\boldsymbol{x} = P \tilde{\boldsymbol{x}}$であるので、
\[ \boldsymbol{x}(t) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{x}} = \begin{pmatrix} \tilde{x}(t) + \tilde{y}(t) \\ -\tilde{y}(t) \end{pmatrix} = \tilde{x}(t) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \tilde{y}(t) \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]を得る。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-07-22 05:19:30