ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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行列
\[ A = \begin{pmatrix} \lambda & b \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \]をもつ方程式。

行列$A$の特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\tilde{\lambda} I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} \lambda-\tilde{\lambda} & b \\ 0 & -\lambda-\tilde{\lambda} \end{pmatrix} = ( \lambda-\tilde{\lambda})^2 = 0 \]となり、行列$A$の固有値は
\[ \tilde{\lambda} = \lambda \]となる。このとき、固有ベクトルは
\[ \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \mathrm{i.e.} \ \ b v_2 = 0 \]より、
\[ \boldsymbol{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]ととることができる。従って、この系は1次元の固有空間しか持たない。
また、$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$から、方程式は
\[ \dot{x} = \lambda x + by \tag{1} \] \[ \dot{y} = \lambda y \tag{2} \]となる。まず、(2)式から、
\[ y(t) = y_0 e^{\lambda t} \]となる。これを(1)式に代入すると、
\[ \dot{x} = \lambda x + by_0 e^{\lambda t} \\ \dot{x} e^{-\lambda t} - \lambda x e^{-\lambda t} = by_0 \\ \frac{d}{dt}( x e^{-\lambda t} ) = by_0 \]と変形できるので、
\[ x e^{-\lambda t} = by_0 t + x_0 \\ x(t) = ( b y_0 t + x_0 ) e^{\lambda t} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-23 06:20:12

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