ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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回路方程式$L \ddot{I} + R \dot{I} + I/C = 0$

(a) $\dot{I}=x$とおくと、
\[ \begin{equation} \begin{cases} \dot{I}=x \\ \dot{x} = - \frac{1}{LC} I - \frac{R}{L} x \end{cases} \end{equation} \]と2次元の線形系の形にすることができる。

(b) この方程式を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと、$\boldsymbol{x} = (I \ \ x)$として、
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{1}{LC} & -\frac{R}{L} \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ -\frac{1}{LC} & -\frac{R}{L} - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 +\frac{R}{L} \lambda +\frac{1}{LC} = 0 \]となる。従って、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は
\[ \tau = -\frac{R}{L}, \ \ \Delta = \frac{1}{LC} \]となる。以上より
$R>0$のとき、$\tau < 0, \ \ \Delta > 0$であるので、漸近安定となり、
$R=0$のとき、$\tau = 0, \ \ \Delta > 0$であるので、センター即ち中立安定となる。

(c) $\tau^2 - 4 \Delta = (R^2 C - 4L )/L^2 C$であるので、
i) $R^2 C - 4L > 0$のとき、原点は安定ノード
ii) $R^2 C - 4L = 0$のとき、原点は安定な縮退したノード
iii) $R^2 C - 4L < 0$のとき、原点は安定スパイラル
となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-23 07:09:35

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