ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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減衰調和振動子$m \ddot{x} + b \dot{x} + kx = 0$

(a) $v=\dot{x}$とおくと、
\[ \begin{equation} \begin{cases} \dot{x}=v \\ \dot{v} = - \frac{k}{m} x - \frac{b}{m} v \end{cases} \end{equation} \]と2次元の線形系の形にすることができる。

(b)(c) この方程式を$\dot{\boldsymbol{x}} = A \boldsymbol{x}$の形で書くと、$\boldsymbol{x} = (x \ \ v)$として、
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \end{pmatrix} \]となる。このとき、特性方程式は
\[ \mathrm{det} (A-\lambda I) = \mathrm{det} \begin{pmatrix} -\lambda & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} - \lambda \end{pmatrix} = \lambda^2 +\frac{b}{m} \lambda +\frac{k}{m} = 0 \]となる。従って、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は
\[ \tau = -\frac{b}{m}, \ \ \Delta = \frac{k}{m}, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (b^2 - 4km )/m^2 \]となる。以上より
i) $b^2 - 4km > 0$のとき、原点は安定ノードで過減衰に対応
ii) $b^2 - 4km = 0$のとき、原点は安定な縮退したノードで臨界減衰に対応
iii) $b^2 - 4km < 0$のとき、原点は安定スパイラルで不足減衰振動に対応
となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-23 07:22:08

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