ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\dot{R}= J, \ \ \dot{J} = -R+J$
(a) ロミオは自分の感情には影響されず、ジュリエットが自分を好きなら、気勢が上がるし、疑問を嫌いなら気勢が下がる。
一方、ジュリエットは自分がロミオに好意を抱けば気勢が上がるが、ロミオに好意を抱かれると逆に気勢が下がる。

(b) この方程式を行列の形で書くと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 1, \ \ \Delta = 1, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = -3 \]であるので、原点にある固定点は不安定スパイラルとなる。
これは、ロミオとジュリエットがお互いに好き嫌いを繰り返しながら、その感情はどんどん高まっていくことになる。

(c) この系の特性方程式は
\[ \lambda^2 - \lambda + 1= 0 \]となるので、固有値とその固有ベクトルは
\[ \lambda_1 = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ e^{-\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} \]となる。従って、一般解は
\[ \begin{pmatrix} R(t) \\ J(t) \end{pmatrix} = c_1 e^{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}t} \begin{pmatrix} 1 \\ e^{\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} + c_2 e^{\frac{1-\sqrt{3}i}{2}t} \begin{pmatrix} 1 \\ e^{-\frac{\pi}{3}i} \end{pmatrix} \]となる。$R(0) = 1, \ \ J(0) = 0$より、
\[ c_1 = \frac{-e^{-\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{\pi}{3}i}-e^{-\frac{\pi}{3}i}}, \ \ c_2 = \frac{e^{\frac{\pi}{3}i}}{e^{\frac{\pi}{3}i}-e^{-\frac{\pi}{3}i}} \]となるので、
\[ R(t) = -\frac{2}{\sqrt{3}} e^{\frac{t}{2}} \sin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} t - \frac{\pi}{3} \right) , \\ J(t) = -\frac{2}{\sqrt{3}} e^{\frac{t}{2}} \sin \frac{\sqrt{3}}{2} t \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-27 03:57:30

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