ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\dot{R}= aJ, \ \ \dot{J} = bR$
この方程式を行列の形で書くと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 0, \ \ \Delta = -ab \]となる。
i) $a>0, \ \ b>0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。この場合、行列$A$の固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda_1 = \sqrt{ab}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{a} \\ \sqrt{b} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = -\sqrt{ab}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{a} \\ -\sqrt{b} \end{pmatrix} \]となる。従って、$\boldsymbol{v}_1$方向が不安定多様体、$\boldsymbol{v}_2$方向が安定多様体となる。
これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。
ii) $a<0, \ \ b<0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。この場合、行列$A$の固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda_1 = \sqrt{|a||b|}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{|a|} \\ -\sqrt{|b|} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = -\sqrt{|a||b|}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{|a|} \\ \sqrt{|b|} \end{pmatrix} \]となる。従って、$\boldsymbol{v}_1$方向が不安定多様体、$\boldsymbol{v}_2$方向が安定多様体となる。
これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。
iii) $a>0, \ \ b<0$または$a<0, \ \ b>0$の場合、固定点のタイプはセンターとなる。この場合、お互いに好きになったり、嫌いになったり、一方が相手を好きで、一方が相手を嫌いになったりを永遠に繰り返していくことになる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-28 05:27:08

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