ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\dot{R}= aR + bJ, \ \ \dot{J} = -bR-aJ$
この方程式を行列の形で書くと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 0, \ \ \Delta = -a^2+b^2 \]となる。
i) $a>b$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。この場合、行列$A$の固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda_1 = \sqrt{a^2-b^2}, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} b \\ -a+\sqrt{a^2-b^2} \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = -\sqrt{a^2-b^2}, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} b \\ -a - \sqrt{a^2-b^2} \end{pmatrix} \]となる。従って、$\boldsymbol{v}_1$方向が不安定多様体、$\boldsymbol{v}_2$方向が安定多様体となる。
これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。
ii) $a=b$の場合、一般解は
\[ R(t) = c_1 a t + c_1 + c_2 a, \ \ J(t) = -c_1 a t - c_2 a \]となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。
iii) $a<b$の場合、固定点のタイプはセンターとなる。この場合、お互いに好きになったり、嫌いになったり、一方が相手を好きで、一方が相手を嫌いになったりを永遠に繰り返していくことになる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-28 06:05:06

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