ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\dot{R}= aR + bJ, \ \ \dot{J} = bR+aJ$
この方程式を行列の形で書くと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{R} \\ \dot{J} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} R \\ J \end{pmatrix} \]となる。このとき、行列$A$のトレース$\tau$と行列式$\Delta$は\[ \tau = 2a, \ \ \Delta = a^2-b^2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 4 b^2 > 0 \]となる。また、行列$A$の固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda_1 = a+b, \ \ \boldsymbol{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \lambda_2 = a-b, \ \ \boldsymbol{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]となる。
i) $a+b > a-b > 0$の場合、固定点のタイプは不安定ノードとなる。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。
ii) $a-b > a+b > 0$の場合、固定点のタイプは不安定ノードとなる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。
iii) $a+b>0, \ \ a-b<0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。
iv) $a+b<0, \ \ a-b>0$の場合、固定点のタイプはサドル点となる。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。
v) $a+b<0, \ \ a-b<0$の場合、固定点のタイプは安定ノードとなる。これは時間が経つと、お互いに好き嫌いの感情が亡くなっていくことを示している。
vi) $a+b > 0, \ \ a-b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、お互いをどんどん好きになる、またはお互いをどんどん嫌いになることを示している。
vii) $a-b > 0, \ \ a+b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、一方が相手をどんどん好きになるが、もう一方は相手をどんどん嫌いになることを示している。
viii) $a+b < 0, \ \ a-b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、一方が相手を好きになり、もう一方は相手を嫌いになる状態に落ち着いていくことを示している。
ix) $a-b < 0, \ \ a+b = 0$の場合、固定点は孤立していない。これは時間が経つと、お互いに相手を好きになるか、お互いに相手を嫌いになるかの状態に落ち着いていくことを示している。

解答者：goodbook 解答日時：2020-07-28 06:29:08

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