ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -x + (1-x^2-y^2)y$
(a) 各右辺が領域$D$で連続であることは明らか。
次に各右辺の偏微分を求めると、
\[ \frac{\partial}{\partial x} y = 0, \ \ \frac{\partial}{\partial y} y = 1, \\
\frac{\partial}{\partial x} [-x + (1-x^2-y^2)y ] = -1 -2xy, \\
\frac{\partial}{\partial y} [-x + (1-x^2-y^2)y ] = 1-x^2 - 3y^2 \]となり、領域$D$で連続となるので、
この系は$D$の全領域で存在と一意性定理の仮定を満たす。

(b) $x(t) = \sin t, \ \ y(t) = \cos t$とおくと、
$\dot{x}(t) = \cos t$となるので、$\dot{x} = y$を満たす。
また、
$\dot{y} = -\sin t$,
$ -x + (1-x^2-y^2)y = - \sin t + (1 - \sin^2 t - \cos^2 t ) \cos t = - \sin t$
となるので、$\dot{y} = -x + (1-x^2-y^2)y$を満たす。
したがって、$x(t) = \sin t, \ \ y(t) = \cos t$はこの系の厳密解である。

(c) $x(0) = 1/2, y(0) = 0$から出発する解
(b)から$x^2(t)+y^2(t)=1$は解である。存在と一意性の定理より解の軌道は$x^2(t)+y^2(t)=1$に交わることはないので、
$x^2(t)+y^2(t)=1$の内部から始まる軌道は$x^2(t)+y^2(t)<1$に留まる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-09-16 07:55:12

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