ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$ \dot{x} = x-y, \ \ \dot{y} = x^2 - 4$
この系の固定点は$(2,2), \ \ (-2,-2)$となる。
固定点$(2,2)$の近傍では、$x=2+u, \ \ y = 2+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 1, \ \ \Delta = 4, \ \ \tau^2-4\Delta = -15$となるので、不安定スパイラルとなる。
一方、固定点$(-2,-2)$の近傍では、$x=-2+u, \ \ y = -2+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 1, \ \ \Delta = -4$となるので、サドル点となる。
また、このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = \frac{1+\sqrt{17}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1-\sqrt{17} \end{pmatrix} \\
\lambda = \frac{1-\sqrt{17}}{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ 1+\sqrt{17} \end{pmatrix} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-09-17 06:24:57

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