ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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$ \dot{x} = \sin y, \ \ \dot{y} = x - x^3$
この系の固定点は$(0,n \pi), \ \ (-1, n \pi), \ \ (-1, n \pi)$となる。ここで、$n$は整数。
固定点$(0,n \pi)$の近傍では、$x=u, \ \ y = n \pi+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (-1)^n \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = (-1)^{n+1}$となる。したがって、
$n$が偶数のときサドル点、$n$が奇数のときセンターとなる。
また、$n$が偶数のとき、固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]となる。
一方、固定点$(\pm 1,n \pi)$の近傍では、$x=\pm 1+u, \ \ y = n \pi+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (-1)^n \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = 2(-1)^n$となる。したがって、
$n$が偶数のときセンター、$n$が奇数のときサドル点となる。
また、$n$が奇数のとき、固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \\
\lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-09-18 05:22:56

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