ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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$ \dot{x} = y+x-x^3, \ \ \dot{y} = -y$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1,0)$。
固定点$(0,0)$の近傍では、$x=u, \ \ y = v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = -1$となるので、サドル点である。
また、このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]となる。
一方、固定点$(\pm 1,0)$の近傍では、$x=\pm 1 + u, \ \ y = v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -3, \ \ \Delta = 2, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1$となるので、安定ノードである。
このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
\lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-09-20 08:29:24

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問題解答へのコメント

1	固定点$(1,0)$近傍の相図 投稿者：goodbook 投稿日時：2020-09-20 08:38:28