ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$ \dot{x} = \sin y, \ \ \dot{y} = \cos x$
この系の固定点は$(\frac{\pi}{2} + m \pi ,n \pi)$となる。ここで、$m,n$は整数。
固定点$(\frac{\pi}{2} + m \pi ,n \pi)$の近傍では、$x=\frac{\pi}{2} + m \pi + u, \ \ y = n \pi+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (-1)^n \\ (-1)^{m+1} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = (-1)^{m+n}$となる。したがって、
$m+n$が偶数のときセンター、$n$が奇数のときサドル点となる。
また、$m+n$が奇数のとき、固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} (-1)^n \\ 1 \end{pmatrix} \\
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} (-1)^{n+1} \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-09-21 06:52:23

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