ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$ \dot{x} = xy -1, \ \ \dot{y} = x-y^3$
この系の固定点は$(1,1), \ \ (-1,-1)$。
固定点$(1,1)$の近傍では、$x=1+u, \ \ y = 1+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -2, \ \ \Delta = -4$となるので、サドル点である。
また、このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = -1+\sqrt{5} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{5}-2 \end{pmatrix} \\
\lambda = -1-\sqrt{5} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{5}-2 \end{pmatrix} \]となる。
一方、固定点$(-1,-1)$の近傍では、$x=-1 + u, \ \ y = -1+ v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -4, \ \ \Delta = 4, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 0$となるので、縮退したノードである。
このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-09-22 09:43:47

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問題解答へのコメント

1	固定点$(-1,-1)$付近の相図 投稿者：goodbook 投稿日時：2020-09-24 05:28:10