ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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(a) 2つの静止した質量$m_1$と$m_2$の物体を結ぶ直線上を動く粒子の質量を$m$、速度を$v$とする。このとき、$x$の位置にある粒子のエネルギーは、
\[ E = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{Gmm_1}{|x|} - \frac{Gmm_2}{|a-x|} \]となる。エネルギー保存則から、$0<x<a$において、
\[ \frac{d}{dt} E = m \dot{x} \left( \ddot{x} + \frac{Gm_1}{x^2} - \frac{Gm_2}{(a-x)^2} \right) = 0 \]となる。ここで$\dot{x} = v$を利用した。
したがって、
\[ \ddot{x} = \frac{Gm_2}{(x-a)^2} - \frac{Gm_1}{x^2} \]が得られる。

(b) $v = \dot{x} $とおくと、この系は、
\[ \dot{x} = v, \ \ \dot{v} = \frac{Gm_2}{(x-a)^2} - \frac{Gm_1}{x^2} \]と表せる。したがって、この系の固定点（釣り合いの位置）は、
\[ (\frac{\sqrt{m_1}}{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}}a, 0) \]となる。また、この固定点近傍では、
\[ A = \frac{2G}{a^3} \frac{(\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2})^4}{\sqrt{m_1m_2}} \]とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ A & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 0, \ \ \Delta = -A$となるので、サドル点である。つまり、釣り合いの位置は不安定であるといえる。このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = \sqrt{A} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{A} \end{pmatrix} \\
\lambda = -\sqrt{A} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{A} \end{pmatrix} \]となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-09-23 04:45:15

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