ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\dot{x} = y^3 - 4x, \ \ \dot{y} = y^3-y-3x$
(a) この系の固定点は$(0,0), \ \ (2,2), \ \ (-2,-2)$。
固定点$(0,0)$の近傍では、$x=u, \ \ y = v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ -3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -5, \ \ \Delta = 4, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 9$となるので、安定ノードである。
また、このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = -4 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。
一方、固定点$(\pm 2,\pm 2)$の近傍では、$x=\pm 2 + u, \ \ y = \pm 2 + v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 12 \\ -3 & 11 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = 7, \ \ \Delta = -8$となるので、サドル点である。
このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = 8 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。

(b) 直線$x=y$上の任意の点$(a,a)$から出発する軌道を考える。ここで
$\dot{x} - \dot{y} = -(x-y)$となるので、$x(t)-y(t) = A e^{-t}$となる。
$t=0$で$(a,a)$であるので、$x(t)=y(t)$が得られる。
したがって、直線$x=y$は不変であることがわかる。

(c) (b)から$x(t)-y(t) = A e^{-t}$であるので、直線$x=y$上以外の点から出発する軌道では、$A \neq 0$となる。
したがって、$t \to \infty$で$|x(t) - y(t)| \to 0$となる。

(d) 添付図

(e) この系はヌルクライン$y^3-y-3x=0$の近傍の領域で、その速度は$(1,0)$方向を向いていて、
その他の領域で速度は$(1,1)$方向を向いている。しがたって、時間を逆行して考えると、
直線$x=y$上にない任意の点から出発する軌道は、ヌルクライン$y^3-y-3x=0$に近づいていくように見える。

解答者：goodbook 解答日時：2020-09-28 05:13:19

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