ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x} = xy, \ \ \dot{y} = x^2-y$
(a) 固定点$(0,0)$の近傍で、$x=u, \ \ y = v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -1, \ \ \Delta = 0$となるので、孤立していない固定点であると予測される。
また、このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = 0 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
\lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]となる。つまり、厳密解として
\[ x(t) = x_0, \ \ y(t) = y_0 e^{-t} \]となるので、$(0,0)$の近傍の任意の点から出発した軌道は$y$軸方向には$0$に近づいていくが、$x$軸方向には全く動かないと予測される。

(b) 実際には$\dot{x} = xy$であるので、固定点$(0,0)$近傍においても$y<0$の点では$x=0$に近づく方向に速度をもち、$y>0$の点では$x=0$から遠ざかる方向に速度を持っている。したがって、原点は孤立した固定点である。

(c) $y$軸は固定点$(0,0)$の安定多様体となる。また、ヌルクライン$y=x^2$と$x$軸の間に固定点$(0,0)$の不安定多様体が現れる。この不安定多様体を$y=f(x)$で現す。
この時、$y>f(x)$かつ$x \neq 0$を満たす任意の点から出発する軌道は$t \to \infty$で$y=f(x)$へ漸近し、$t \to -\infty$で$y$軸に漸近していくので、サドル点のような振る舞いとなる。
一方、$y<f(x)$かつ$x \neq 0$を満たす任意の点から出発する軌道は$t \to \infty$で$y=f(x)$へ漸近するが、$t \to -\infty$では$y$軸に漸近せず、$y$軸から遠ざかっていく振る舞いをする。
したがって、原点はサドルに近い振る舞いをするが、厳密なサドルとは異なる振る舞いをする。

(d) 添付図

解答者：goodbook 解答日時：2020-09-29 05:32:32

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