ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{r} = -r, \ \ \dot{\theta}=1/\ln r$
(a) $\dot{r} = -r$の解は$r(t)=r_0 e^{-t}$となる。これを$\dot{\theta}=1/\ln r$に代入すると、
\[ \dot{\theta} = \frac{1}{ \ln r_0 - t } \]となる。したがって、
\[ \theta(t) = \theta_0 + \ln \left| \frac{ \ln r_0 }{ \ln r_0 - t } \right| \]が得られる。

(b) $t \to \infty$で$\theta(t) \to - \infty$となるので、$r(t) \to 0$および$| \theta(t) | \to \infty $となる。
したがって、原点は非線形系における安定なスパイラルである。

(c) $x=r \cos \theta, \ \ y = r \sin \theta $とおくと
\[ \dot{x} = -x-\frac{2y}{\ln (x^2+y^2)}, \ \ \dot{y} = -y+\frac{2x}{\ln (x^2+y^2)} \]となる。

(d) (c)の結果を原点まわりで線形化すると、$x^2+y^2 \to 0$で$\ln (x^2+y^2) \to -\infty$であるので、$\dot{x} = -x, \ \ \dot{y} = -y$となる。よって、原点はこの線形系における安定なスターノードである。

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-01 05:00:07

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