ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

（解答の続き）
(b) $a<1/2$のとき、固定点は$(a/\sqrt{1-2a},(1-a)/\sqrt{1-2a}), \ \ (-a/\sqrt{1-2a},-(1-a)/\sqrt{1-2a})$。
固定点$(a/\sqrt{1-2a},(1-a)/\sqrt{1-2a})$の近傍で、$x=a/\sqrt{1-2a}+u, \ \ y = (1-a)/\sqrt{1-2a}+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1-2a}} \begin{pmatrix} -(1-3a) & -a \\ -2a & 2(1-a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = (1+a)/\sqrt{1-2a}, \ \ \Delta = -2(1-2a)<0$となるので、サドル点である。
このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = \frac{(1+a)+\sqrt{(3-5a)^2+8a^2}}{2 \sqrt{1-2a}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} -2a \\ (3-5a) + \sqrt{(3-5a)^2+8a^2} \end{pmatrix} \\
\lambda = \frac{(1+a)-\sqrt{(3-5a)^2+8a^2}}{2 \sqrt{1-2a}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} (3-5a) + \sqrt{(3-5a)^2+8a^2} \\ 4a \end{pmatrix} \]となる。
一方、固定点$(-a/\sqrt{1-2a},-(1-a)/\sqrt{1-2a})$の近傍で、$x=-a/\sqrt{1-2a}+u, \ \ y = -(1-a)/\sqrt{1-2a}+v$とおくと、
\[ \begin{pmatrix} \dot{u} \\ \dot{v} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{1-2a}} \begin{pmatrix} 1-3a & a \\ 2a & -2(1-a) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \]となり、$\tau = -(1+a)/\sqrt{1-2a}, \ \ \Delta = -2(1-2a)<0$となるので、サドル点である。
このときの固有値と固有ベクトルは
\[ \lambda = \frac{-(1+a)+\sqrt{(3-5a)^2+8a^2}}{2 \sqrt{1-2a}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} (3-5a) + \sqrt{(3-5a)^2+8a^2} \\ 4a \end{pmatrix} \\
\lambda = \frac{-(1+a)-\sqrt{(3-5a)^2+8a^2}}{2 \sqrt{1-2a}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} -2a \\ (3-5a) + \sqrt{(3-5a)^2+8a^2} \end{pmatrix} \]となる。
$a>0$のときと$a<0$のときの相図は添付図となる。これらの場合、２つのサドルは軌道で結ばれていない。つまり、$a=0$の相図は構造安定ではないことがわかる。

なお、$a \leq 1/2$のとき、固定点は存在しない。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-08 06:54:54