ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$\dot{x} = x ( 3-x-y ), \ \ \dot{y} = y ( 2-x-y )$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (0,2), \ \ (3,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 3-2x-y & -x \\ -y & 2 - x - 2y \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 5, \ \ \Delta = 6, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 1 > 0$となるので、不安定ノード。\[ \lambda = 3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,2) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = -1, \ \ \Delta = -2$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (3,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] $\tau = -4, \ \ \Delta = 3, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = 4 > 0$となるので、安定ノード。
\[ \lambda = -3 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \]
この系では、$(3,0)$の吸引領域は第１象限全体となる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-11 11:20:54

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