ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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$ \dot{N_1} = r_1 N_1 -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2 -b_2 N_1 N_2 $
(a) 環境収容力に対応する項がなく、種内の競争が考慮されていない。

(b) $N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-y), \ \ y' = y ( \rho - x ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1$とおいた。

(c) (d)
この系の固定点は$(0,0), \ \ (\rho,1)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-y & -x \\ -y & \rho - x \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (\rho,1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -\rho \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -\rho < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{\rho} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \sqrt{\rho} \\ -1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{\rho} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \sqrt{\rho} \\ 1 \end{pmatrix} \]この系の相図は添付図のようになる。
また、長時間経過すると、どちらかの種が増え続け、もう一方の種が減少し続ける。

(e)
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y'}{x'} = \frac{y(\rho - x)}{x(1-y)} \ \ \to \ \ \frac{\rho -x}{x} dx = \frac{1-y}{y} dy \]となるので、
$ \rho \ln x - x = \ln y - y + C$が得られる。
この軌道にならないのは、$x=0$または$y=0$の軌道。

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-15 06:47:33

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