ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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$ \dot{N_1} = r_1 N_1(1-N_1/K_1) -b_1 N_1 N_2, \ \ \dot{N_2} = r_2 N_2 -b_2 N_1 N_2 $
$N_1, \ N_2, \ t$を
\[ N_1 = \frac{r_1}{b_2} x, \ \ N_2 = \frac{r_1}{b_1} y, \ \ t = \frac{1}{r_1} \tau \]とリスケールすると、
\[ x' = x (1-x/k_1-y), \ \ y' = y ( \rho - x ) \]となる。ここで、$\rho = r_2/r_1, \ \ k_1 = b_2 K_1/r_1$とおいた。

i) $k_1 > \rho$のとき
この系の固定点は$(0,0), \ \ (\rho,1-\rho/k_1), \ \ (k_1,0)$。
また、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 1-2x/k_1 - y & -x \\ -y & \rho - x \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[ (\rho,1-\rho/k_1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -\rho/k_1 & -\rho \\ -1+\rho/k_1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = -\rho/k_1, \ \ \Delta = -(k_1-\rho) \rho /k_1 < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \frac{-\rho+\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)}}{2k_1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} -2 k_1 \rho \\ \rho+\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{-\rho-\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)}}{2k_1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} \rho+\sqrt{\rho^2+4 \rho k_1 (k_1-\rho)} \\ 2(k_1 - \rho) \end{pmatrix} \]
\[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = -(k_1-\rho)-1 < 0, \ \ \Delta = k_1-\rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (k_1-\rho-1)^2 \geq 0$となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -(k_1-\rho) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]この系の相図は添付図のようになる。この場合、長時間経過すると、$(k_1,0)$の吸引領域では、種1は環境収容力$K_1$に近づき、種2はゼロに近づく。吸引領域以外では種2が増え続け、種1は減少していく。

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-17 05:41:36

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問題解答へのコメント

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解答の続き ii) $k_1 < \rho$のとき この系の固定点は$(0,0), \ \ (k_1,0)$。以下、固定点ごとに分類。 \[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \rho \end{pmatrix} \] $\tau = 1+\rho > 0, \ \ \Delta = \rho > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = (1-\rho)^2 \geq 0$となるので、不安定ノードまたは不安定な縮退したノードとなる。 \[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = \rho \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ (k_1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -1 & -k_1 \\ 0 & \rho - k_1 \end{pmatrix} \] $\tau = -(k_1-\rho)-1, \ \ \Delta = k_1-\rho < 0$となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。 \[ \lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = -(k_1-\rho) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} k_1 \\ k_1-\rho-1 \end{pmatrix} \]この系の相図は添付図のようになる。この場合、長時間経過すると、種2が増え続け、種1は減少していく。 投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-17 05:43:59