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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.204の問題番号「6.4.7」への解答

レート方程式
\[ \dot{n}_1 = G_1 N n_1 - k_1 n_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 \alpha_1 n_1^2 - G_1 \alpha_2 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = G_2 N n_2 - k_2 n_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 \alpha_1 n_1 n_2 - G_2 \alpha_2 n_2^2 \]まず、$\alpha_1 n_1 \to n_1, \ \ \alpha_2 n_2 \to n_2$と置き換えてもその性質は変わらない。
\[ \dot{n}_1 = (G_1 N_0 - k_1) n_1 - G_1 n_1^2 - G_1 n_1 n_2 \\
\dot{n}_2 = (G_2 N_0 - k_2) n_2 - G_2 n_1 n_2 - G_2 n_2^2 \]
(a) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 -2G_1 n_1 - G_1 n_2 & -G_1 n_1 \\ -G_2 n_2 & G_2 N_0 -k_2 - G_2 n_1 -2 G_2 n_2 \end{pmatrix} \]で、固定点$(0,0)$に対するヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} G_1 N_0 -k_1 & 0 \\ 0 & G_2 N_0 -k_2 \end{pmatrix} \]となる。したがって、
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、不安定ノード。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、サドル点。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、サドル点。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、安定ノード。

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-24 10:30:51

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問題解答へのコメント

1

(b)
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき
i-1) $k_1/G_1 > k_2/G_2$のとき
$(0,0)$以外の固定点は$((G_1 N_0 - k_1)/G_1, 0), \ \ (0, (G_2 N_0 - k_2)/G_2)$。
以下、固定点ごとに分類。
\[ ((G_1 N_0 - k_1)/G_1, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -(G_1 N_0 - k_1) & -(G_1 N_0 - k_1) \\ 0 & -k_2+G_2 k_1/G_1 \end{pmatrix} \] $\tau = -(G_1 N_0 - k_1)-k_2+G_2 k_1/G_1, \ \ \Delta = -(G_1 N_0 - k_1)(-k_2+G_2 k_1/G_1) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -(G_1 N_0 - k_1) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \\
\lambda = -k_2+G_2 k_1/G_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} G_1 N_0 - k_1 \\ -(G_1 N_0 - k_1 -k_2+G_2 k_1/G_1 ) \end{pmatrix} \]
\[ (0, (G_2 N_0 - k_2)/G_2) \ : \ A = \begin{pmatrix} -k_1+G_1 k_2/G_2 & 0 \\ -(G_2 N_0 - k_2) & -(G_2 N_0 - k_2) \end{pmatrix} \] $\tau = -k_1+G_1 k_2/G_2-(G_2 N_0 - k_2)<0, \ \ \Delta = -(-k_1+G_1 k_2/G_2)(G_2 N_0 - k_2) > 0, \\ \tau^2 - 4 \Delta = \{(-k_1+G_1 k_2/G_2)+(G_2 N_0 - k_2) \}^2 \geq 0 $となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -k_1+G_1 k_2/G_2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} G_2 N_0 - k_2 -k_1+G_1 k_2/G_2 ) \\ -(G_2 N_0 - k_2) \end{pmatrix}, \\
\lambda = -(G_2 N_0 - k_2) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-24 10:36:59

2

i-2) $k_1/G_1 < k_2/G_2$のとき
$(0,0)$以外の固定点は$((G_1 N_0 - k_1)/G_1, 0), \ \ (0, (G_2 N_0 - k_2)/G_2)$。
以下、固定点ごとに分類。
\[ ((G_1 N_0 - k_1)/G_1, 0) \ : \ A = \begin{pmatrix} -(G_1 N_0 - k_1) & -(G_1 N_0 - k_1) \\ 0 & -k_2+G_2 k_1/G_1 \end{pmatrix} \] $\tau = -(G_1 N_0 - k_1)-k_2+G_2 k_1/G_1<0, \ \ \Delta = -(G_1 N_0 - k_1)(-k_2+G_2 k_1/G_1) > 0 \\ \tau^2 - 4 \Delta = \{(G_1 N_0 - k_1)+(-k_2+G_2 k_1/G_1) \}^2 \geq 0 $となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -(G_1 N_0 - k_1) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \\
\lambda = -k_2+G_2 k_1/G_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} G_1 N_0 - k_1 \\ -(G_1 N_0 - k_1 -k_2+G_2 k_1/G_1 ) \end{pmatrix} \]

\[ (0, (G_2 N_0 - k_2)/G_2) \ : \ A = \begin{pmatrix} -k_1+G_1 k_2/G_2 & 0 \\ -(G_2 N_0 - k_2) & -(G_2 N_0 - k_2) \end{pmatrix} \] $\tau = -k_1+G_1 k_2/G_2-(G_2 N_0 - k_2), \ \ \Delta = -(-k_1+G_1 k_2/G_2)(G_2 N_0 - k_2) < 0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = -k_1+G_1 k_2/G_2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} G_2 N_0 - k_2 -k_1+G_1 k_2/G_2 ) \\ -(G_2 N_0 - k_2) \end{pmatrix}, \\
\lambda = -(G_2 N_0 - k_2) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-24 10:39:26

3

i-3) $k_1/G_1 = k_2/G_2$のとき
$(0,0)$以外の固定点は
$\{ (n_1^*, n_2^*) \ \ | \ \ n_2^* = N_0 - k_1/G_1 - n_1^*, \ \ n_1^* \geq 0, \ \ n_2^* \geq 0 \}$。
このとき、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} -G_1 n_1^* & -G_1 n_1^* \\ -G_2 n_2^* & -G_2 n_2^* \end{pmatrix} \] $\tau = -G_1 n_1^*-G_2 n_2^* < 0, \ \ \Delta = 0$となるので、安定な孤立していない固定点となる。
\[ \lambda = 0 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \\
\lambda = -(G_1 n_1^* + G_2 n_2^*) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} G_1 n_1^* \\ G_2 n_2^* \end{pmatrix} \]

ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき
$(0,0)$以外の固定点は$((G_1 N_0 - k_1)/G_1, 0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} -(G_1 N_0 - k_1) & -(G_1 N_0 - k_1) \\ 0 & -k_2+G_2 k_1/G_1 \end{pmatrix} \] $\tau = -(G_1 N_0 - k_1)-k_2+G_2 k_1/G_1<0, \ \ \Delta = -(G_1 N_0 - k_1)(-k_2+G_2 k_1/G_1) > 0, \\ \tau^2 - 4 \Delta = \{(G_1 N_0 - k_1)+(-k_2+G_2 k_1/G_1) \}^2 \geq 0 $となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -(G_1 N_0 - k_1) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \\
\lambda = -k_2+G_2 k_1/G_1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} G_1 N_0 - k_1 \\ -(G_1 N_0 - k_1 -k_2+G_2 k_1/G_1 ) \end{pmatrix} \]

iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき
$(0,0)$以外の固定点は$(0, (G_2 N_0 - k_2)/G_2)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} -k_1+G_1 k_2/G_2 & 0 \\ -(G_2 N_0 - k_2) & -(G_2 N_0 - k_2) \end{pmatrix} \] $\tau = -k_1+G_1 k_2/G_2-(G_2 N_0 - k_2)<0, \ \ \Delta = -(-k_1+G_1 k_2/G_2)(G_2 N_0 - k_2) > 0, \\ \tau^2 - 4 \Delta = \{(-k_1+G_1 k_2/G_2)+(G_2 N_0 - k_2) \}^2 \geq 0 $となるので、安定ノードまたは安定な縮退したノードとなる。
\[ \lambda = -k_1+G_1 k_2/G_2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} G_2 N_0 - k_2 -k_1+G_1 k_2/G_2 ) \\ -(G_2 N_0 - k_2) \end{pmatrix}, \\
\lambda = -(G_2 N_0 - k_2) \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、$(0,0)$以外の固定点はない。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-24 10:45:29

4

(c) 定性的に異なる相図は６つ。
i) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき
i-1) $k_1/G_1 > k_2/G_2$のとき、長時間挙動は種1のレーザーが$0$に、種2のレーザーが$N_0-k_2/G_2$に近づく。
i-2) $k_1/G_1 < k_2/G_2$のとき、長時間挙動は種1のレーザーが$N_0-k_1/G_1$に、種2のレーザーが$0$に近づく。
i-3) $k_1/G_1 = k_2/G_2$のとき、長時間挙動は種1のレーザーが$0 \leq n_1^* \leq N_0 - k_1/G_1$を満たす値$n_1^*$に近づくと、種2のレーザーが$N_0-k_1/G_1-n_1^*$に近づく。
ii) $G_1 N_0 -k_1 > 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、長時間挙動は種1のレーザーが$N_0-k_1/G_1$に、種2のレーザーが$0$に近づく。
iii) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 > 0$のとき、長時間挙動は種1のレーザーが$0$に、種2のレーザーが$N_0-k_2/G_2$に近づく。
iv) $G_1 N_0 -k_1 < 0, \ \ G_2 N_0 -k_2 < 0$のとき、長時間挙動は種1のレーザー、種2のレーザーともに$0$に近づく。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-24 10:47:48

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