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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.205の問題番号「6.5.5」への解答

系$\ddot{x} = (x - a)(x^2-a)$
この系をベクトル場として表すと、
$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = (x - a)(x^2-a)$。
この系のポテンシャルは
\[ V(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{a}{3} x^3 + \frac{a}{2} x^2 - a^2 x \]となる。また、この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3x^2 - 2ax -a & 0 \end{pmatrix} \]となる。
i) $a<0$のとき、固定点は$(a,0)$。
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a(a-1) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a(a-1)<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix} \]

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-31 12:20:02

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問題解答へのコメント

1

ii) $a=0$のとき、固定点は$(0,0)$。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 0$となるので、孤立していない固定点と予想される。
実際は、ポテンシャルが$V(x) = -x^4/4$となるので、運動する粒子に関する直観から、実際はサドル点のような振る舞いをすることが予想される。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-31 12:21:29

2

iii) $0<a<1$のとき、固定点は$(\pm \sqrt{a},0), \ \ (a,0) $。
\[ (\pm \sqrt{a},0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2a(1 \mp \sqrt{a}) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -2a(1 \mp \sqrt{a})<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{2a(1 \mp \sqrt{a})} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2a(1 \mp \sqrt{a})} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{2a(1 \mp \sqrt{a})} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2a(1 \mp \sqrt{a})} \end{pmatrix} \]
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a(a-1) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a(a-1)>0$となるので、センターと予想される。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-31 12:23:30

3

iv) $a=1$のとき、固定点は$(-1,0), \ \ (1,0) $。
\[ (-1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -4<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = 2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -2 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \]
\[ (1,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 0$となるので、孤立していない固定点と予想される。
実際は、ポテンシャル上で運動する粒子に関する直観から、
$(1,0)$から最初$(1,0)$方向に、その後傾きが正方向に伸びていく不安定多様体と、
$(1,0)$から最初$(1,0)$方向に、その後傾きが負方向に伸びていく安定多様体
を持つ固定点であることが予想される。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-31 12:25:34

4

v) $a>1$のとき、固定点は$(-\sqrt{a},0), \ \ (\sqrt{a},0), \ \ (a,0) $。
\[ (-\sqrt{a},0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2a(1 + \sqrt{a}) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -2a(1 + \sqrt{a})<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{2a(1 + \sqrt{a})} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2a(1 + \sqrt{a})} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{2a(1 + \sqrt{a})} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2a(1 + \sqrt{a})} \end{pmatrix} \]
\[ (\sqrt{a},0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2a(1 - \sqrt{a}) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -2a(1 - \sqrt{a})>0$となるので、センターと予想される。
\[ (a,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ a(a-1) & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -a(a-1)<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{a(a-1)} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{a(a-1)} \end{pmatrix} \]

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-10-31 12:27:45

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