ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$ \dot{x} = - kxy, \ \ \dot{y} = k x y - l x$
(a) この系の固定点は$x^* \geq 0$となる任意の点$(x^*,0)$。
このヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & -kx^* \\ 0 & kx^*-l \end{pmatrix} \] $\tau = kx^*-l, \ \ \Delta = 0$となる。
i) $kx^*-l < 0$のとき、安定な孤立していない固定点と予想される。
ii) $kx^*-l > 0$のとき、不安定な孤立していない固定点と予想される。
iii) $kx^*-l = 0$のとき、センターのような固定点と予想される。

(b) ヌルクラインは$x=0, x=l/k, y=0$の3直線。ヌルクラインとベクトル場は添付図。

(c)
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = \frac{kxy-ly}{-kxy} = -1 + \frac{l}{kx} \\
dy = \left( -1 + \frac{l}{kx} \right) dx \\
y = -x +\frac{l}{k} \ln x + E \\
E = y + x - \frac{l}{k} \ln x \] (d) $k=1, \ \ l=2$の場合の相図は添付図のようになる。
$t \to \infty$では罹病した人はいなくなり、健常な人がわずかに残る。

(e) $x_0 > l/k$すなわち$l<kx_0$。これは健常な人が罹病している人と接触して罹病する率が、罹病している人が死亡する率より大きいとき疫病が発生する。

解答者：goodbook 解答日時：2020-10-31 17:49:48

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