ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

投稿一覧に戻る

\[ \frac{d^2 u}{d \theta^2} + u = \alpha + \varepsilon u^2 \]
(a) $v = du / d \theta$とおくと、
\[ \dot{u} = v, \ \ \dot{v} = \alpha - u + \varepsilon u^2 \]と$(u,v)$相平面上の系として書き換えることができる。
(b) この系の固定点は
\[ \left( \frac{1 \pm \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} }{ 2 \varepsilon }, 0 \right) \]の2点。
(c) この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 + 2 \varepsilon u & 0 \end{pmatrix} \]。以下、固定点ごとに分類。
\[ \left( \frac{1 + \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} }{ 2 \varepsilon }, 0 \right) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -\sqrt{1-4 \varepsilon \alpha}<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = (1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ (1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -(1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -(1-4 \varepsilon \alpha)^{\frac{1}{4}} \end{pmatrix} \]
\[ \left( \frac{1 - \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} }{ 2 \varepsilon }, 0 \right) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha}>0$となるので、センターと予想される。
この固定点を$(u^*,v^*)$とする。この系の保存量は
\[ E(u,v) = \frac{1}{2} v^2 - \alpha u + \frac{1}{2} u^2 - \frac{\varepsilon}{3} u^3 \]となる。また、
\[ 0 < \varepsilon' < \frac{\sqrt{1-4 \varepsilon \alpha}}{\varepsilon} \]を満足する任意の$\varepsilon'$をとると、固定点$(u^*,v^*)$を囲む半径$\varepsilon'$の円の中に、他の固定点は存在しないので、$(u^*,v^*)$は孤立した固定点となる。最後に、
\[ \left. \frac{\partial}{\partial u} E(u,v) \right|_{(u^*,v^*)} = 0, \ \ \left. \frac{\partial}{\partial v} E(u,v) \right|_{(u^*,v^*)} = 0, \\ \left. \frac{\partial^2}{\partial u^2} E(u,v) \right|_{(u^*,v^*)} = \sqrt{1-4 \varepsilon \alpha} > 0, \\ \left. \frac{\partial^2}{\partial u \partial v} E(u,v) \right|_{(u^*,v^*)} = 0, \ \ \left. \frac{\partial^2}{\partial v^2} E(u,v) \right|_{(u^*,v^*)} = 1 > 0 \]となるので、$(u^*,v^*)$は$E(u,v)$の極小点となる。従って固定点$(u^*,v^*)$は非線形なセンターである。
(d) 添付図のように、固定点$(u^*,v^*)$が惑星の円形軌道に対応することがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-11-03 10:57:40

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。