ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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※問題の方程式$\ddot{x}+\dot{x}+ \varepsilon x^3 = 0$はダフィン方程式の一種であるが、
問題の意図からすると、$\ddot{x}+x+ \varepsilon x^3 = 0$の形のダフィン方程式の方が正しい模様。
以下の解答ではダフィン方程式を$\ddot{x}+x+ \varepsilon x^3 = 0$として扱う。

(a) ダフィン方程式の両辺に$\dot{x}$をかけて整理すると、保存量
\[ E= \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{\varepsilon}{4} x^4 \]が得られる。ダフィン方程式をベクトル場として表すと、
\[ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -x -\varepsilon x^3 \]となるので、保存量は
\[ E= \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{2} x^2 + \frac{\varepsilon}{4} x^4 \]と表される。
$\varepsilon > 0$の場合、この系の固定点は原点のみで、明らかに孤立した固定点であり、また、保存量$E$は原点で
\[ \frac{\partial E}{\partial x} = x + \varepsilon x^3 = 0, \ \ \frac{\partial E}{\partial y} = y =0, \\
\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = 1 + 3 \varepsilon x^2 = 1, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial x \partial y}=0, \ \ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = 1 \]となるので、原点は$E$の極小点となる。
すなわち、原点は非線形なセンターをもつ。

(b) $\varepsilon <0$の場合、固定点は$(0,0), \ \ (\pm 1/\sqrt{|\varepsilon|}, 0)$。
$0<\delta<1/\sqrt{|\varepsilon|}$となるような$\delta$を選ぶと、$x^2+y^2<\delta^2$の領域において、原点は孤立した固定点となり、
また、保存量$E$は原点で極小値をとるので、原点の近くのすべての軌道は閉じている。
$(\pm 1/\sqrt{|\varepsilon|}, 0)$でのヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -2<0$となるので、サドル点。
\[ \lambda = \sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} \]したがって、原点から遠くの軌道はサドル点の軌道をとる。

この問題の相図は添付図。

解答者：goodbook 解答日時：2020-11-10 04:14:50

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