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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.208の問題番号「6.5.15」への解答

系$mr \ddot{\phi} = -b \dot{\phi} -mg \sin \phi + mr \omega^2 \sin \phi \cos \phi$
(a) $b=0$のとき、両辺を$mr \omega^2$で割ると、
\[ \frac{d^2 \phi}{d(\omega t )^2} = -\frac{g}{r \omega^2} \sin \phi + \sin \phi \cos \phi \]となる。$\tau = \omega t, \ \ \gamma = r \omega^2 / g$とおくと、
\[ \phi'' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) \]が得られる。

(b) $\phi' = \theta$とおくと、方程式は
$ \phi' = \theta, \ \ \theta' = \sin \phi ( \cos \phi - \gamma^{-1} ) $
とベクトル化できる。
i) $\gamma < 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 )$となる。このとき、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & 0 \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1>0$となるので、センターと予想される。
\[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = \sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix} \]このときの相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-11-17 05:56:03

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問題解答へのコメント

1

6.5.15(b)の続き
ii) $\gamma > 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 ), (\pm \phi^*, 0)$となる。ここで、$\cos \phi^* = \gamma^{-1},\ \ 0<\phi^* < \pi$とする。このとき、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & 0 \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1<0$となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = \sqrt{1-\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{1-\gamma^{-1}} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{1-\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{1-\gamma^{-1}} \end{pmatrix} \]
\[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = \sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{1+\gamma^{-1}} \end{pmatrix} \]
\[ (\pm \phi^*,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \gamma^{-2}-1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1-\gamma^{-2}>0$となるので、センターと予想される。
このときの相図は添付図のようになる。

(c) i) $\gamma < 1$即ち$mr \omega^2 < mg$のとき、輪の回転が遅く、遠心力は重力よりも弱い。その結果、ビーズの速度が遅いとき、ビーズは鉛直方向の下の位置を中心に振動運動をする。ビーズの速度がある一定の値を超えると、ビーズは輪に沿って回転運動をする。
ii) $\gamma > 1$即ち$mr \omega^2 > mg$のとき、輪の回転が速く、遠心力は重力よりも強い。その結果、ビーズの速度が遅いとき、ビーズは鉛直下方から$\phi^*$の角をなす位置を中心に振動運動をする。ビーズの速度が上がると、ビーズは鉛直方向の下の位置を中心に大きな振動運動をする。ビーズの速度がさらに上がり、ある一定の値を超えると、ビーズは輪に沿って回転運動をする。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-11-17 05:59:33

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