ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

ii) $\gamma > 1$のとき、固定点は$(0,0), \ \ (\pi, 0 ), (\pm \phi^*, 0)$となる。ここで、$\cos \phi^* = \gamma^{-1},\ \ 0<\phi^* < \pi$とする。このとき、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \cos 2 \phi - \gamma^{-1} \cos \phi & -\beta \end{pmatrix} \]以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 - \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = \gamma^{-1}-1<0$となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1-\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1-\gamma^{-1})} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1-\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1-\gamma^{-1})} \end{pmatrix} \]
\[ (\pi,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 + \gamma^{-1} & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = -(1+\gamma^{-1})<0$となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 + 4(1+\gamma^{-1})} \end{pmatrix} \]
\[ (\pm \phi^*,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \gamma^{-2}-1 & -\beta \end{pmatrix} \] $\tau = -\beta, \ \ \Delta = 1-\gamma^{-2}>0, \ \ \tau^2-4 \Delta = \beta^2 - 4(1 - \gamma^{-2})$となる。したがって、
① $\beta^2 - 4(1 - \gamma^{-2}) > 0$のとき、固定点は安定ノードとなる。
\[ \lambda = \frac{ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(1-\gamma^{-2})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta + \sqrt{\beta^2 - 4(1-\gamma^{-2})} \end{pmatrix}, \\
\lambda = \frac{ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(1-\gamma^{-2})} }{2} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 2 \\ - \beta - \sqrt{\beta^2 - 4(1-\gamma^{-2})} \end{pmatrix} \]② $\beta^2 - 4(1-\gamma^{-2}) < 0$のとき、固定点は安定スパイラルとなる。
このときの相図は添付図のようになる。
$\gamma > 1$即ち$mr \omega^2 > mg$のとき、輪の回転が速く、遠心力は重力よりも強い。その結果、ビーズは鉛直下方から$\phi^*$の角をなす位置に落ち着いていく。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-11-22 08:48:16