ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

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系$\dot{x} = y(1-x^2), \ \ \dot{y} = 1-y^2$
変数変換$t \to -t, \ \ y \to -y$に対して
$ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ y(1-x^2) \to -y(1-x^2), \ \ \dot{y} \to \dot{y}, \ \ 1-y^2 \to 1-y^2$
となるので、この系は可逆である。
この系の固定点は$(1,1), \ \ (1,-1), \ \ (-1,1), \ \ (-1,-1)$。この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} -2xy & 1-x^2 \\ 0 & -2y \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (1,1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = -4<0, \ \ \Delta = 4>0, \tau^2-4 \Delta = 0$となるので、安定なスターノードと予想される。
\[ (1,-1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 4>0, \ \ \Delta = 4>0, \tau^2-4 \Delta = 0$となるので、不安定なスターノードと予想される。
\[ (-1,1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -4<0$となるので、サドル点となる。
\[ (-1,-1) \ : \ A = \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -4<0$となるので、サドル点となる。
この系の相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-11-24 05:19:14

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