ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス : 数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで　の読書会ページ

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系$\dot{x} = \sin y, \ \ \dot{y} = \sin x$
(a) 変数変換$t \to -t, \ \ y \to -y$に対して
$ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ \sin y \to - \sin y, \ \ \dot{y} \to \dot{y}, \ \ \sin x \to \sin x$
となるので、この系は可逆である。
(b) この系の固定点は$(2m \pi,2n \pi), \ \ (2m \pi,(2n+1) \pi), \ \ ((2m+1) \pi,2n \pi), \ \ ((2m+1) \pi,(2n+1) \pi)$。ここで、$m, \ \ n$は整数である。この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & \cos y \\ \cos x & 0 \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (2m \pi,2n \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ (2m \pi,(2n+1) \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。
\[ ((2m+1) \pi,2n \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。
\[ ((2m+1) \pi,(2n+1) \pi) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]
(c) (b)の結果から、任意の整数$m$に対して、$(m \pi,m \pi)$と$((m+1) \pi,(m+1) \pi)$を結ぶ線分は、安定または不安定多様体となる。したがって、$y=x$上から出発した任意の軌道は$y=x$上を動いて、$(m \pi,m \pi)$のいずれかの固定点に近づいていく。つまり、$y=x$上に永久にとどまる。したがって、$y=x$は不変。また、この系は可逆であるので、$y=-x$も不変となることがわかる。
(d) この系の相図は添付図のようになる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-11-25 07:52:06

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