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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.209の問題番号「6.6.4」への解答

(a) $\ddot{x} +(\dot{x})^2 + x = 3$
この系をベクトル化すると、
$\dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -y^2 -x + 3$
となる。この系の固定点は$(3,0)$。ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 1>0$となるので、センターと予想される。

この系の相図は添付図のようになる。
この系の軌道の種類は$(3.5,0)$を通る軌道で分かれる。
$3.0 < a < 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は閉じた軌道になっている。
一方、$a > 3.5$として、点$(a,0)$を通る軌道は$y$が正から負になる方向に進む軌道を描く。

解答者：goodbook 解答日時：2020-11-26 05:38:08

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問題解答へのコメント

1

(b) $\dot{x} = y-y^3, \ \ \dot{y} = x \cos y$
この系の固定点は$(0,0), \ \ (0,\pm 1)$。この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1-3y^2 \\ \cos y & - x \sin y \end{pmatrix} \]となる。以下、固定点ごとに分類。
\[ (0,0) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = -1<0$となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = 1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \
\lambda = -1 \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ (0,\pm 1) \ : \ A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ \cos 1 & 0 \end{pmatrix} \] $\tau = 0, \ \ \Delta = 2 \cos 1>0$となるので、センターと予想される。

この系の相図は添付図のようになる。
$-\pi/2 < y < \pi/2$となる点$(x,y)$から始まるほとんど軌道は、閉じた軌道になる。
$y > \pi/2$となる点$(x,y)$から始まる軌道は、$x$の負の方向に進む軌道を描き、
$y < -\pi/2$となる点$(x,y)$から始まる軌道は、$x$の正の方向に進む軌道を描く。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-11-26 06:46:37

2

(c) $\dot{x} = \sin y, \ \ \dot{y} = y^2 - x$
この系の固定点は$(n^2 \pi^2,n \pi)$。ここで$n$は整数。この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & (-1)^n \\ -1 & 2n \pi \end{pmatrix} \] $\tau = 2n \pi, \ \ \Delta = (-1)^n, \ \ \tau^2 -4 \Delta = 4(n^2 \pi^2 - (-1)^n)$となる。
i) $n=0$のとき、センターとなる。
ii) $n$が正の偶数のとき不安定ノード、$n$が負の偶数のとき安定ノードとなる。
\[ \lambda = n \pi + \sqrt{n^2 \pi^2 -1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ n \pi + \sqrt{n^2 \pi^2 -1} \end{pmatrix}, \\
\lambda = n \pi - \sqrt{n^2 \pi^2 -1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ n \pi - \sqrt{n^2 \pi^2 -1} \end{pmatrix} \]
iii) $n$が奇数のとき、サドル点となる。
\[ \lambda = n \pi + \sqrt{n^2 \pi^2 +1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -n \pi - \sqrt{n^2 \pi^2 +1} \end{pmatrix}, \\
\lambda = n \pi - \sqrt{n^2 \pi^2 +1} \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -n \pi + \sqrt{n^2 \pi^2 +1} \end{pmatrix} \]
この系の相図は添付図のようになる。ただし、$x \to \pi^2 x, \ \ y \to \pi y$にリスケールしている。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-11-29 07:01:30

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