ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス　の読書会ページ

投稿一覧に戻る

系$\ddot{x} + f(\dot{x}) + g(x)=0$、$f$は偶関数で、$f,\ g$は滑らか。
(a) $t \to -t$とすると、$x \to x, \ \ \dot{x} \to -\dot{x}, \ \ \ddot{x} \to \ddot{x}$。
このとき、$f$は偶関数であるので、$f(\dot{x}) \to f(-\dot{x}) = f(\dot{x})$となる。また、$g(x) \to g(x)$である。以上のことから、この方程式が純粋な時間のみの反転$t \to -t$のもとで不変であることがわかる。

(b) $\dot{x} = y$とおくと、$ \dot{x} = y, \ \ \dot{y} = -f(y) - g(x)$とこの系をベクトル化できる。このとき、この系の任意の固定点は$(x^*,0)$とおくことができる。ここで、$x^*$は$f(0)+g(x^*)=0$を満たす。
また、ヤコビ行列は、
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\left. \frac{d g}{d x} \right|_{x^*} & -\left. \frac{d f}{d y} \right|_0 \end{pmatrix}, \ \
\tau = -\left. \frac{d f}{d y} \right|_0, \ \ \Delta = \left. \frac{d g}{d x} \right|_{x^*} \]となる。
ここで、$f$が偶関数であることを考慮すると、$y \to -y$に対して、
\[ \frac{d f(y)}{d y} \to \frac{d f(-y)}{d (-y)} = -\frac{d f(y)}{d y} \]となるので、
\[ \left. \frac{d f}{d y} \right|_0 = 0 \]となる。つまり、$\tau = 0$となるので、この系は安定なノードやスパイラルにはなりえないことがわかる。

解答者：goodbook 解答日時：2020-11-30 05:16:36

コメントを書き込む

問題解答へのコメント

まだ、コメントはありません。