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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス(9784621085806)

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ストロガッツ非線形ダイナミクスとカオス

著者：スティーヴン・H．ストロガッツ/田中久陽

出版社：丸善出版 (2015年01月30日頃)

ISBN-10：4621085808

ISBN-13：9784621085806

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P.210の問題番号「6.6.9」への解答

\[ \frac{d \phi_k}{d \tau} = \Omega + a \sin \phi_k + \frac{1}{2} \sum_{j=1}^2 \sin \phi_j \ \ \ \ (k=1,2) \]
(a) $\theta_k = \phi_k - \pi/2$とおくと、系は
\[ \frac{d \theta_k}{d \tau} = \Omega - a \cos \theta_k - \frac{1}{2} \sum_{j=1}^2 \cos \theta_j \ \ \ \ (k=1,2) \]となる。変数変換$\tau \to -\tau, \ \ \theta_k \to -\theta_k$を考えると、
\[ \frac{d \theta_k}{d \tau} \to \frac{d \theta_k}{d \tau}, \ \ \cos \theta_k \to \cos \theta_k \]であるので、この変換に対して系は不変である。つまり、変数変換$\tau \to -\tau, \ \ \theta_k \to -\theta_k$に対して可逆である。

(b) この系を書き下すと、
\[ \frac{d \theta_1}{d \tau} = \Omega - \frac{2a+1}{2} \cos \theta_1 - \frac{1}{2} \cos \theta_2, \\
\frac{d \theta_2}{d \tau} = \Omega - \frac{1}{2} \cos \theta_1 - \frac{2a+1}{2} \cos \theta_2 \]となり、固定点は、
\[ \cos \theta_1 = \frac{\Omega}{a+1}, \ \ \cos \theta_2 = \frac{\Omega}{a+1} \]を満たす$\theta_1, \ \ \theta_2$の組となる。
i) $| \Omega/(a+1)| < 1$のとき、$\cos \theta^* = \Omega/(a+1), \ \ 0 < \theta^* < \pi$とすると、固定点は$(\pm \theta^*, \pm \theta^*)$の4点となる。
ii) $| \Omega/(a+1)| > 1$のとき、$-1 \leq \cos \theta_1, \ \cos \theta_2 \leq 1$であるので、固定点はなし。

解答者：goodbook 解答日時：2020-12-12 09:26:30

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問題解答へのコメント

1

(c) $a=1$のとき、この系のヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \sin \theta_1 & \frac{1}{2} \sin \theta_2 \\ \frac{1}{2} \sin \theta_1 & \frac{3}{2} \sin \theta_2 \end{pmatrix} \]となる。
i) $0 \leq \Omega < 2$のとき、固定点は$(\pm \theta^*, \pm \theta^*)$の4点。
\[ (\theta^*,\theta^*), \ \ (-\theta^*,-\theta^*) \ : \ A = \begin{pmatrix} \pm \frac{3}{2} \sin \theta^* & \pm \frac{1}{2} \sin \theta^* \\ \pm \frac{1}{2} \sin \theta^* & \pm \frac{3}{2} \sin \theta^* \end{pmatrix}, \\ \tau = \pm 3 \sin \theta^* > 0, \ \ \Delta = 2 \sin^2 \theta^* > 0, \ \ \tau^2 - 4 \Delta = \sin^2 \theta^* > 0 \]となるので、$(\theta^*, \theta^*)$は不安定ノード、$(-\theta^*, -\theta^*)$は安定ノードとなる。
\[ \lambda = \pm 2 \sin \theta^* \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \ \ \lambda = \pm \sin \theta^* \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \]
\[ (\theta^*,-\theta^*), \ \ (-\theta^*,\theta^*) \ : \ A = \begin{pmatrix} \pm \frac{3}{2} \sin \theta^* & \mp \frac{1}{2} \sin \theta^* \\ \pm \frac{1}{2} \sin \theta^* & \mp \frac{3}{2} \sin \theta^* \end{pmatrix}, \\ \tau = 0, \ \ \Delta = - 2 \sin^2 \theta^* < 0 \]となるので、サドル点となる。
\[ \lambda = \sqrt{2} \sin \theta^* \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \mp 2\sqrt{2} \end{pmatrix}, \ \ \lambda = - \sqrt{2} \sin \theta^* \ \ \to \ \ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \pm 2\sqrt{2} \end{pmatrix} \]
ii) $\Omega = 2$のとき、固定点は$(0,0)$で、ヤコビ行列は
\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \\ \tau = 0, \ \ \Delta = 0 \]となるので、孤立していない固定点と予想される。
iii) $2 < \Omega \leq 3$のとき、固定点はなし。

添付図は$\Omega = 0,1,2,3$のときの相図。

投稿者：goodbook 投稿日時：2020-12-12 09:31:26

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